Юрій Львович Далецький народився в 1926 році в м. Чернігові. У сімнадцять років, в роки Великої вітчизняної війни, став солдатом, приймав участь у військових діях на Далекому Сході. Після закінчення війни та демобілізації в 1946 році, Юрій Львович Далецький поступив на механіко-математичний факультет Київського університету, який закінчив у 1951 році. Вже в студентські роки Юрій Львович активно захопився науковою роботою. Його перші наукові результати були отримані під керівництвом визначного викладача та математика Крейна Селіма Григоровича й пов'язані з задачами теорії диференційних рівнянь у нескінченновимірних просторах.
У 1950 році Ю. Л. Далецький розпочав дослідження асимптотичних методів для диференціальних рівнянь з малим параметром у банахових просторах. Він переніс на нескінченновимірні простори метод Крилова-Боголюбова асимптотичного розщеплення еволюційних рівнянь з повільно змінними коефіцієнтами, а також конструкцію Боголюбова-Митропольского інтегральних многовидів.
Юрій Львович автор близько 180 статей і книг. Захистив кандидатську та докторську дисертації. Розпочаті в студентські роки дослідження були успішно продовжені в роки його роботи в Київському політехнічному інституті. У 1957 році Ю. Л. Далецький почав вивчати зв'язки між операторними еволюційними рівняннями і функціональними інтегралами.
У 1962 році Юрій Львович отримав ступінь доктора фізико-математичних наук у Московському Державному університеті. В його дисертації були обґрунтовані формули Фейнмана-Каца для широкого класу параболічних і гіперболічних рівнянь, а також для рівнянь Шредінгера. Використовуючи мультиплікативне представлення еволюційного оператора лінійних диференціальних рівнянь, Ю. Л. Далецький отримав важливий варіант відомої формули для збуреного еволюційного оператора.
Пізніше Ю. Л. Далецький і його учні узагальнили це мультиплікативне представлення, поширивши його на випадок нелінійних рівнянь і застосували його до функціональних інтегралів у просторі розгалужених траєкторій.
Важливим внеском Ю. Л. Далецького у розвиток теорії міри було визначення квазіміри в нескінченновимірному просторі, яке включає міру Фейнмана.
У 60-х роках Ю. Л. Далецький почав розвивати новий напрямок стохастичних рівнянь на нескінченновимірних гладких многовидах, витоками якої послужили теорії нескінченновимірних стохастичних рівнянь і геометрії Рімана. У 80-х і 90-х роках Ю. Л. Далецький продовжував дослідження міри на нескінченновимірних многовидах. Ним був виявлен взаємозв'язок між логарифмічною похідною гладкої міри та розширеним стохастичним інтегралом.
Згодом для гладких мір Юрієм Львовичем був сконструйований біортогональний негаусівський аналог поліномів Ерміта, перетворення Фур'є-Вінера і розклад Вінера-Іто, а також вказана конструкція квазіінваріантних мір на нескінченновимірних групах Лі. Ця робота за аналогією поліномів Ерміта дала поштовх побудови «біортогонального» підходу до теорії узагальнених функцій нескінченної кількості змінних.
Ю. Л. Далецький завжди був відкритим до нових ідей і досягнень у галузі математики, йому завжди був цікавий пошук взаємозв'язків між новими та традиційними об'єктами. Юрій Львович щедро ділився своїми знаннями зі студентами, учнями, співробітниками, а також з усією математичною спільнотою. Він організував науковий семінар «Алгебраїчні структури математичної фізики», де багато молодих київських математиків отримали сучасну математичну освіту.
Спільно з Анатолієм Володимировичем Скороходом, Юрій Львович Далецький керував науковим семінаром «Випадкові процеси та розподіли в функціональних просторах».
Будучи людиною глибокої, різносторонньої освіти, сполученою з надзвичайною душевною теплотою, Юрій Львович володів визначним педагогічним даром. Його лекції завжди були дуже емоційними, завжди по суті, завжди неординарні. Вони демонстрували проблеми в дослідженнях і вказували шляхи їх подолання.
Юрій Львович не тільки займався навчанням студентів і аспірантів. Він виховав ціле покоління викладачів, поставив на високий рівень викладання багатьох математичних курсів у Київському політехнічному інституті та в подальшому удосконалив їх систему. Багато хто з його студентів стали керівниками підприємств, директорами академічних інститутів, деканами факультетів, професорами і академіками.
Ю. Л. Далецький був керівником 30 кандидатських і консультантом 8 докторських дисертацій, членом редакційної колегії журналу «Methods of Fundamental Analysis and Topology», починаючи з першого випуску (1995 р.). За наукову і педагогічну діяльність, Ю. Л. Далецький був обраний у 1992 році дійсним членом (академіком) Національної академії наук України, отримав ряд почесних звань.
